Για να δείξουμε ότι το σημείο (0,-1) βρίσκεται εντός του κύκλου με κέντρο (1,-2) και ακτίνα ρ=2, πρέπει να υπολογίσουμε την απόσταση από το κέντρο του κύκλου μέχρι το σημείο και να επιβεβαιώσουμε ότι είναι μικρότερη από την ακτίνα του κύκλου.

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων (x1,y1) και (x2,y2) υπολογίζεται με τον τύπο της Ευκλείδειας απόστασης:

d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)

Εφαρμόζοντας τον τύπο στα σημεία (0,-1) και (1,-2):

d = √((1-0)^2 + (-2-(-1))^2) = √(1^2 + (-1)^2) = √(1 + 1) = √2

Η απόσταση είναι √2, η οποία είναι μικρότερη από την ακτίνα ρ=2. Άρα το σημείο (0,-1) βρίσκεται εντός του κύκλου.

Για να βρούμε την εξίσωση του κύκλου που περιέχει τα μέσα όλων των χορδών που περνούν από το σημείο (0,-1), πρέπει να βρούμε το κέντρο και την ακτίνα του κύκλου.

Γνωρίζουμε ότι οι χορδές που περνούν από το σημείο (0,-1) είναι διαμέτρους του κύκλου. Έτσι, το κέντρο του κύκλου θα βρίσκεται στη μέση των δύο ακραίων σημείων των χορδών.

Έστω ότι οι ακραίες συντεταγμένες των χορδών είναι (x1,y1) και (x2,y2). Τότε το κέντρο του κύκλου θα είναι:

Κέντρο = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)

Αφού το σημείο (0,-1) βρίσκεται στη μέση των ακραίων σημείων των χορδών, θα έχουμε:

Κέντρο = ((0+x2)/2, (-1+y2)/2) = (x2/2, (y2-1)/2)

Για να βρούμε την ακτίνα του κύκλου, πρέπει να υπολογίσουμε την απόσταση από το κέντρο του κύκλου μέχρι οποιοδήποτε από τα σημεία των χορδών που περνούν από το σημείο (0,-1). Αυτή η απόσταση θα είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου.

Έστω ότι έχουμε μια χορδή με ακραία σημεία (x1,y1) και (x2,y2). Η απόσταση από το κέντρο του κύκλου μέχρι το σημείο (x1,y1) είναι:

d = √((x1-x2/2)^2 + (y1-(y2-1)/2)^2)

Αφού η απόσταση αυτή είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου, θα έχουμε:

√((x1-x2/2)^2 + (y1-(y2-1)/2)^2) = ακτίνα

Αντικαθιστώντας τις τιμές των σημείων (0,-1) και (1,-2) στην παραπάνω εξίσωση, μπορούμε να υπολογίσουμε την ακτίνα του κύκλου.