Για να δείξουμε ότι το σημείο (0,-1) βρίσκεται εντός του κύκλου με κέντρο (1,-2) και ακτίνα 2, πρέπει να ελέγξουμε αν η απόσταση του σημείου από το κέντρο είναι μικρότερη από την ακτίνα του κύκλου.

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων (x1, y1) και (x2, y2) υπολογίζεται με τον τύπο της Ευκλείδειας απόστασης:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Εφαρμόζοντας τον τύπο στα δεδομένα μας, έχουμε:

d = √((0 - 1)^2 + (-1 - (-2))^2) = √(1 + 1) = √2

Η απόσταση είναι μικρότερη από την ακτίνα του κύκλου, άρα το σημείο (0,-1) βρίσκεται εντός του κύκλου.

Για να βρούμε την εξίσωση του κύκλου που περνά από το σημείο (0,-1) και έχει ως μέσο όλες τις χορδές που περνούν από αυτό, πρέπει να βρούμε το κέντρο του κύκλου.

Αφού το σημείο (0,-1) βρίσκεται επί της χορδής που είναι διάμετρος του κύκλου, το κέντρο του κύκλου θα βρίσκεται στη μέση της χορδής. Άρα, το κέντρο του κύκλου θα είναι το μέσο των σημείων (0,-1) και (1,-2).

Το μέσο δύο σημείων (x1, y1) και (x2, y2) υπολογίζεται ως εξής:

Κέντρο = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2)

Εφαρμόζοντας τον τύπο στα δεδομένα μας, έχουμε:

Κέντρο = ((0 + 1)/2, (-1 + (-2))/2) = (1/2, -3/2)

Το κέντρο του κύκλου είναι (1/2, -3/2).

Τέλος, η εξίσωση του κύκλου με κέντρο (1/2, -3/2) και ακτίνα 2 υπολογίζεται ως εξής:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

Εφαρμόζοντας τα δεδομένα μας, έχουμε:

(x - 1/2)^2 + (y + 3/2)^2 = 2^2