Για να δείξουμε ότι το σημείο (0,-1) βρίσκεται εντός του κύκλου με κέντρο (1,-2) και ακτίνα 2, πρέπει να υπολογίσουμε την απόσταση από το κέντρο του κύκλου μέχρι το σημείο και να επιβεβαιώσουμε ότι είναι μικρότερη από την ακτίνα του κύκλου.

Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων (x1, y1) και (x2, y2) υπολογίζεται με τον τύπο της Ευκλείδειας απόστασης:

d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Στην περίπτωσή μας, έχουμε:

d = √((0 - 1)^2 + (-1 - (-2))^2) = √(1 + 1) = √2

Η ακτίνα του κύκλου είναι 2, οπότε η απόσταση είναι μικρότερη από την ακτίνα. Συνεπώς, το σημείο (0,-1) βρίσκεται εντός του κύκλου.

Για να βρούμε την εξίσωση του κύκλου που περνά από το σημείο (0,-1) και έχει ως μέσο όλες τις χορδές που περνούν από αυτό, πρέπει να βρούμε το κέντρο του κύκλου.

Αφού το σημείο (0,-1) βρίσκεται εντός του κύκλου, η απόσταση του από το κέντρο του κύκλου είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου. Άρα, η απόσταση από το κέντρο του κύκλου μέχρι το σημείο (0,-1) είναι 2.

Έτσι, το κέντρο του κύκλου είναι το σημείο (0,-1) μετατοπισμένο 2 μονάδες προς τα πάνω, δηλαδή (0,1).

Επομένως, η εξίσωση του κύκλου είναι:

(x - 0)^2 + (y - 1)^2 = 2^2 x^2 + (y - 1)^2 = 4